சீனிவாச இராமானுஜன் (டிசம்பர் 22, 1887 - ஏப்ரல் 26, 1920) உலகத்தை வியக்கச் செய்த ஒப்பரிய பெரும் கணித மேதை. இவர் தமிழ் நாட்டிலுள்ள ஈரோட்டில் பிறந்தார். இவருடைய தந்தையார் கும்பகோணம் சீனிவாசய்யங்கார், தாயார் ஈரோடு கோமளத்தம்மாள். இராமானுசர் 33 அகவை முடியும் முன்னரே இறந்துவிட்டார். இவர் 1914 முதல் 1918 முடிய உள்ள சில ஆண்டுகளிலேயே 3000க்கும் அதிகமான புதுக் கணிதத் தேற்றங்களைக் கண்டுபிடித்தார்.
இராமானுஜனின் தந்தையாரும் தந்தைவழிப் பாட்டனாரும் துணிக் கடைகளில் எழுத்தராகப் பணியாற்றி வந்தனர். தாய்வழிப் பாட்டனாரும் ஈரோட்டு முனிசீப்பு அறமன்றத்தில் அமீனாக வேலை பார்த்தவர். ஆகவே இவர் எளிய குடும்பத்தில், ஏழ்மையான நிலையில் இருந்தார். எனினும் இவர் சிறு வயதிலேயே யாருடைய உதவியும் இல்லாமல் மிக மிக வியப்பூட்டும் விதத்தில் கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான ஆழ் உண்மைகளைக் கண்டுணர்ந்தார். எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிய எண்கோட்பாடுகளிலும் (number theory), செறிவெண் (complex number) கோட்பாடுகளிலும் இவர் கண்டுபிடித்துக் கூறிய ஆழ் உண்மைகள் இன்று அடிப்படை இயற்பியற் துறை முதல் மின்தொடர்புப் பொறியியல் துறை வரை பல துறைகளில் உயர்மட்டங்களில் பயன்படுத்தபபட்டு வருகின்றன. இராமானுசன் அவர்கள் பெயரால் The Ramanujan Journal என்னும் கணித ஆய்விதழ் ஒன்று தொடங்கப்பட்டுள்ளது.
பள்ளிப் பருவத்திலேயே கணித ஆய்வு
பழமையில் ஊறியிருந்த தென்னிந்திய பிராம்மண குடும்பத்தில் அவர் பிறந்தார். பத்து வயதிற்குள்ளேயே இச்சிறுவனுடைய கணித வல்லமையும் நினைவாற்றலும் ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு புதிராக இருந்தது. ஆரம்பப் பள்ளியின் கடைசித் தேர்வில் மாவட்டத்திலேயே முதலாவதாகத் தேறியதால் அவனுக்கு கும்பகோணம் டவுன் மேல்நிலைப் பள்ளியில் அரைச்சம்பளக் கல்விச் சலுகை கிடைத்தது. 12வது வயதில் லோனி எழுதிய முக்கோணவியல் (Trigonometry) என்ற பாட புத்தகத்தை கல்லூரியில் இளங்கலை வகுப்பில் படித்துக் கொண்டிருந்த தன் அண்டை வீட்டு மாணவனிடமிருந்து கடன் வாங்கி படிக்கத் தொடங்கினான். தன்னைவிட 7, 8 வயது சிறியவனான இப்பள்ளி மாணவன் இக்கல்லூரிப் பாடபுத்தகத்தை ஒரே வாசிப்பில் முடித்ததோடு மட்டுமல்லாமல் அதிலிருந்த எல்லா கணக்குகளையும் தானே போட்டு முடித்து விட்டான் என்றதும் அந்தக் கல்லூரி மாணவனுக்கு ஒரே வியப்பு. முக்கோணவியல் என்ற பெயர் இருந்தாலும் அப்புத்தகத்தில் சில உயர் கணித விஷயங்கள், உதாரணமாக, பகுவியலில் (Analysis) கூறப்படும் தொடர் வினை (Continuous processes) களைப் பற்றிய விஷயங்கள், அடுக்குக்குறிச் சார்பு (exponential function), கலப்பு மாறியின் மடக்கை (logarithm of a complex variable), மிகைபரவளைவுச் சார்புகள் (hyperbolic functions) முடிவிலாத் தொடர்கள் மற்றும் பெருக்கீடுகள் (infinite series and products) இதைப்போன்ற கணிதத்தின் உயர்தரப் பொருள்களெல்லாம் பாடத்திற்கு எடுத்துக் கொள்ளப் பட்டிருந்தன. இவைகளைப் பற்றி அப்புத்தகத்தில் சொல்லப்பட்டிருந்தது துல்லியக் குறைவாகத்தான் இருந்ததென்றாலும் அப்புத்தகம் தான் சிறுவன் இராமானுஜனுக்கும் இவ்வுயர் கணிதப் பொருள்களுக்கும் ஏற்பட்ட முதல் நட்பு. இதைவிட ஒரு தரமான புத்தகம் அவன் கையில் கிடைக்காதது விதியின் விளையாட்டு போலும். விட்டேகருடைய ‘தற்காலப்பகுவியல்’ (Modern Analysis) உலகத்தில் அப்பொழுதுதான் வந்துவிட்டிருந்தது ஆனால் கும்பகோணம் வரையில் வரவில்லை. பிராம்விச்சுடைய முடிவிலாத்தொடர்கள் (Infinite Series), கார்ஸ்லா வுடைய ஃபோரியர் தொடரும் தொகையீடுகளும் (Fourier Series and Integrals), பியர்பாயிண்டுடைய மெய்மாறிச் சார்புகளின் கோட்பாடு (Theory of functions of a real variable), ஜிப்ஸனுடைய நுண்கணிதம் (Calculus) ஆகியவைகள் அப்பொழுதுதான் எழுதப்பட்டுக் கொண்டிருந்த காலம். இவையெல்லாம் இராமானுஜனுக்குக் கிடைத்திருந்தால் கணித உலகின் வரலாறே மாறியிருக்குமா இருக்காதா என்பதில் இன்றும் கணித இயலர்களுக் கிடையில் மாறுபட்ட கருத்துகள் நிலவி வருகின்றன.
1903 டிசம்பரில் சென்னைப் பல்கலையின் மெட்ரிகுலேஷன் தேர்வில் முதல் வகுப்பில் தேறினான். அதன் காரணமாக கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரியில் F.A. (இந்தக்காலத்து 11, 12 வது) வகுப்பிற்கு ‘சுப்பிரமணியம் உபகாரச்சம்பளம்’ பெற்றான். அவன் கற்க வேண்டியிருந்த பாடங்கள் ஆங்கிலம், கணிதம், உடற்செயலியல், ரோமானிய கிரேக்க வரலாறு, மற்றும் வடமொழி. ஆனால் கணிதம் தான் அவனுடைய காலத்தையும் சக்தியையும் விழுங்கிக்கொண்டது. கணிதம் தவிர மீத மெல்லாவற்றிலும் தேர்வில் தோல்வியே கண்டான். உபகாரச் சம்பளத்தை இழந்தான். கும்பகோணத்தை விட்டு எங்கோ ஆந்திர மண்ணில் தன்னை இழந்து சுற்றித் திரிந்தான். ஓராண்டு காலம் கழித்துத் திரும்பி கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரிக்கே வந்து சேர்ந்தான். ஆனால் 1905 டிசம்பர் தேர்வுக்கு வேண்டியிருந்த உள்ளமைச் சான்று (attendance certificate) கிடைக்காததால் தேர்வு எழுத முடியவில்லை. கும்பகோணம் கல்லூரியும் அத்துடன் அவனை இழந்தது.
1907-11 இல் படைப்பு வெள்ளம்
ஆனால் அவனுடைய ‘நோட்புக்குகள்’ அவனை இழக்கவில்லை. சென்னை பல்கலைக் கழகத்தின் முதல் நூலகத் தலைவராக இருந்த பேராசிரியர் எஸ். ஆர். ரங்கனாதன் எழுதுகிறார் (அவரே ஒரு கணித வல்லுனரும் கூட): “உள்ளிருந்து அவனை ஒரு ஜோதி ஊக்குவித்த வண்ணம் இருந்தது. கணித ஆய்வுகள் அவனுக்கு தெவிட்டாததாகவும் தவிர்க்க முடியாததாகவும் இருந்தது. F.A.தேர்வு கூட தேறமுடிய வில்லையே என்ற ஏக்கம் அவனுடைய கணித ஊக்கத்தை ஒன்றும் செய்ய முடியவில்லை. வேலையில்லாமல் வளய வருவதும் அவனுடைய ஆய்வுகளின் தரத்தையோ அளவுகளையோ குறைக்கவில்லை. சூழ்நிலை, பொருளாதாரம், சமூக கௌரவம் ஒன்றும் அவனுக்கு ஒரு பொருட்டாக இருக்கவில்லை. அவன் மனதிலும் கையிலும் இருந்ததெல்லாம் விந்தைச்சதுரங்கள் (Magic Squares) , தொடர் பின்னம் (Continued Fractions), பகா எண்களும் கலப்பு எண்களும் (Prime and Composite Numbers), எண் பிரிவினைகள் (Number Partitions), நீள்வட்டத் தொகையீடுகள் (Elliptic Integrals), மிகைப்பெருக்கத் தொடர் (hypergeometric series), இவையும், மற்றும் இவையொத்த மற்ற உயர்தர கணிதப்பொருள்கள் தாம். இவைகளைப் பற்றிய அவனுடைய கண்டுபிடிப்புகளை யெல்லாம் தன்னுடைய மூன்று நோட்புக்குகளில் எழுதினான். நிறுவல்கள் அநேகமாக எழுதப்படவில்லை. தற்காலத்தில் இந்த நோட்புக்குகளின் நகல்கள் (212, 352, 33 பக்கங்கள் கொண்டவை) டாடா அடிப்படை ஆய்வுக் கழகம், சென்னைப்பல்கலைக் கழகம், ஸர் தோரப்ஜி டாடா அறக்கட்டளை ஆகிய மூன்று அமைப்புகளின் ஒத்துழைப்பினால் பிரசுரிக்கப் பட்டிருக்கின்றன. 1985இலிருந்து 2005 வரையில், ப்ரூஸ் பர்ண்ட் என்பவருடைய விரிவான குறிப்புகளுடன் ஐந்து புத்தகங்களாக வெளிவந்திருக்கின்றன. அவைகளில் 3542 தேற்றங்கள் இருக்கின்றனவென்றும், ஏறக்குறைய 2000க்கும் மேற்பட்ட தேற்றங்கள் அவர் வாழ்ந்த காலத்திற்கு முன்னால் கணித உலகிற்குத் தெரியாத தேற்றங்கள் தான் என்றும் சொல்கிறார் ப்ரூஸ் பர்ண்ட்
நான்கு பொன்னான ஆண்டுகள்
கேம்பிரிட்ஜில் ஹார்டியுடன் கூட இருந்த நான்கு ஆண்டுகளும் (1914-1918) இராமானுஜனுக்கு மட்டுமல்ல பேராசிரியர் ஹார்டிக்குமே பொன்னான ஆண்டுகள் தாம். இதை ஹார்டியே சொல்கிறார். பிற்காலத்தில், இராமானுஜன் யாருமே எதிர்பார்க்காத 32 வயதிலேயே மரணமடைந்த பிறகு ஹார்டி அவரைப் பற்றி சொல்லும்போது ‘இங்கு வருவதற்கு முன்னால் அவர் என்ன புத்தகம் படித்திருந்தார், இன்னின்ன புத்தகங்களைப் பார்த்திருந்தாரா இல்லையா என்பதை என்னால் சொல்ல முடியவில்லை. நான் கேட்டிருந்தால் ஒருவேளை சொல்லி யிருப்பாரோ என்னமோ. ஆனால் ஒவ்வொருநாள் நான் அவருக்கு காலை வணக்கம் சொல்லும்போதும் அவர் எனக்கு ஐந்தாறு புதுத் தேற்றங்களை காட்ட ஆயத்தமாயிருந்ததால் எனக்கு வேறு எதையுமே பேச வாய்ப்புமில்லை. அதைப் படித்திருக்கிறாயா, இதைப் படித்திருக்கிறாயா என்று கேட்பதும் பொருத்த மில்லாமலிருந்தது’. இராமானுஜனுடைய படைப்பாற்றல் அவ்வளவு வேகமாக இருந்தது. இருந்தாலும் பேரா. ஹார்டி இராமானுஜனுக்கு சில தேவையான் விஷயங்களை சொல்லிக் கொடுக்கத்தான் செய்தார். காரணம், இராமானுஜன் அவையில்லாமல் மாற்று வழிகளுக்காக நேரத்தை செலவழித்து விடுவாரோ என்ற பயம்தான். ஆனால் ஹார்டியே பின்னால் சொல்கிறார் ‘நான் அவருக்குத் தெரியவேண்டியவை என்று சொல்லிக் கொடுத்தது சரிதானா என்று தெரியவில்லை. ஏனென்றால் நான் சொல்லிக்கொடுத்ததால் அவருடைய மேதை பரிமளிப்பதை தடை செய்திருக்கவும் கூடுமல்லவா?’. இன்னமும் சொல்கிறார்: ‘நான் அவருக்கு சொல்லிக்கொடுத்ததுதான் சரி என்று வைத்துக்கொண்டாலும், ஒன்று மாத்திரம் உண்மை. அவர் என்னிடமிருந்து கற்றதை விட நான் அவரிடமிருந்து கற்றது தான் அதிகம்’.
இந்நான்கு ஆண்டுகளில் இராமானுஜன் 27 ஆய்வுக்கட்டுரைகள் பிரசுரித்தார். அவைகளில் 7 கட்டுரைகள் ஹார்டியுடன் கூட்டாக எழுதியவை. 1918 இல் F.R.S. (Fellow of the royal Society) என்ற கௌரவம் அவருக்குக்கொடுக்கப்பட்டது. அதே ஆண்டு ட்ரினிடி கல்லூரியின் ஃபெல்லோவாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். இந்த இரண்டு கௌரவங்களையுமே பெற்ற முதல் இந்தியர் அவர்தான்.
சென்னைப் பல்கலைக்கழகமும் அதன் சார்பில் ராமானுஜனுக்காக ஒரு நிலையான ஏற்பாட்டைச்செய்தது. அவர் அதுவரை பெற்றுக்கொண்டிருந்த வெளிநாட்டு உபகாரச்சம்பளம் முடியும் நாளான ஏப்ரல் 1, 1919 இலிருந்து ஐந்து ஆண்டுகளுக்கு அவருக்கு ஆண்டுக்கு £250 நிபந்தனையற்ற சலுகை தருவதாக ஏற்பாடு செய்தது. புதிதாக கல்வி இயக்குனராகப் பதவியேற்றிருந்த பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸ் அப்பொழுதுதான் மும்பையில் நடந்திருந்த இந்திய கணிதக்கழகத்தின் ஆண்டு மகாநாட்டிலிருந்து திரும்பி வந்திருந்தார். அம்மகாநாட்டில் இராமானுஜனுடைய சாதனைகளைப் போற்றித் தீர்மானங்கள் நிறைவேறியிருந்தன. பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸும் சென்னைப் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதப் பேராசிரியர் பதவி ஒன்று உண்டாக்குவதற்காகவும் அந்தப் பதவிக்கு இராமானுஜனுக்கு அழைப்பு விடுப்பதற்கும் பல்கலைக் கழகத்தை கேட்டுக்கொள்ளப் போவதாகவும் அறிவித்தார். ஆனால் காலச்சக்கரம் வேறு விதமாகச் சுழன்றது.
ஒரே ஒரு இராமானுஜன் கணிதத்துளி
இராமானுஜனுடைய கணிதமேதையை எடுத்துக்காட்டுவதற்காக ஒரு சின்னஞ்சிறு துளியை கீழே காண்போம்.
முனைவர் பி.சி. மஹலனொபிஸ் என்பவர் நேரு காலத்தில் இந்தியாவின் ஐந்தாண்டுத் திட்டங்களைத் தீட்டியவர். அவர் இராமானுஜன் கேம்பிரிட்ஜில் வசித்த காலத்தில் அவரும் அங்கு படித்துக் கொண்டிருந்தார். இராமானுஜனுடைய நண்பர். இருவரும் அடிக்கடி சந்திப்பதுண்டு. ஒருநாள் இராமானுஜன் அவரை தன் விடுதிக்கு மதிய உணவருந்த கூப்பிட்டிருந்தார். இராமானுஜன் சமையல் அடுப்பருகில் வேலையில் ஈடுபட்டிருந்ததால், வந்தவர் இருக்கையில் அமர்ந்து ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையைப் புரட்டிக் கொண்டிருந்தார். அதனில் ஒரு கணிதப் புதிர் இருந்தது. அப்பொழுது முதலாவது உலகப்போர் நடந்துகொண்டிருந்த சமயம். “பாரிஸ் நகரில் ஒரே தெருவில் இரண்டு வீடுகளில் இரண்டு அதிகாரிகள் கைதுசெய்யப்பட்டனர்; வீட்டு கதவிலக்கங்கள் தெரியவில்லை, ஆனால் இரண்டு இலக்கங்களினூடே ஒரு கணிதத் தொடர்பு இருக்கிறது, கதவிலக்கங்கள் என்னவாக இருக்கும்?” இதுதான் புதிர். சிறிது நேரம் யோசித்ததில் மஹலனோபிஸ்சுக்கு விடை புரிந்துவிட்டது. அவர் பரபரப்புடன் அதை இராமானுஜனுடன் பகிர்ந்துகொள்ள விருப்பப் பட்டார். இராமானுஜன் சாம்பாரை கலக்கிவிட்டுக் கொண்டே, ‘சொல்லுங்கள் கேட்போம்’ என்றார். மஹலனோபிஸ் பிர்ச்சினையை எடுத்துரைத்தார். அவர் தன் விடையைச் சொல்லுமுன்பே இராமானுஜன், ‘சரி, இந்த தொடர் பின்னத்தைக் குறித்துக் கொள்ளுங்கள்’ என்று ஒரு தொடர் பின்னத்தைக் கூறி அதுதான் விடை என்றார்.
இது நமக்குப் புரிவதற்கு ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையில் இருந்த புதிரின் விபரம் தான் என்ன என்று தெரியவேண்டும். ஆனால் அவ்விபரம் கிடைக்கவில்லை. இருந்தாலும் இராமானுஜனின் மின்னல்வேக விடையைப் புரிந்து கொள்வதற்கு நாமாகவே அப்பத்திரிகைப் புதிர் என்ன மாதிரியில் இருந்திருக்கும் என்று ஊகிக்கலாம். இரண்டு கதவிலக்கங்களைக் கண்டுபிடிப்பது தான் பிரச்சினை. கதவிலக்கங்களை x, y என்று அழைப்போம். அவைகளுக்குள் இருந்த தொடர்பையும் நாம் இப்படி வைத்துக் கொள்ளலாம்:
x^2 - 10 y^2 = +1 or -1
மஹலனோபிஸ் இதைப் பார்த்ததும் ஓரிரண்டு எண்களைப் பொருத்திப் பார்த்தார். x = 3, y = 1 என்ற விடை கிடைத்தது, கிடைத்தவுடன் இராமானுஜனுக்கு சொல்லத் தொடங்கிவிட்டார். ஆனால் இராமானுஜன் பிர்ச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே, சாம்பாரைக் கலக்கிக்கொண்டே, இதன் விடை ஒரு தொடர் பின்னத்தில் இருக்கிறது என்று கீழ்வரும் தொடர் பின்னத்தை சொன்னார்:
3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}
இதன் பொருளை இராமானுஜனே விளக்கினார்.
இத்தொடர்பின்னத்தின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும் ஒவ்வொருவிடையாகும். முதலாவது ஒருங்கு 3/1. x = 3, y = 1 என்பது முதல் விடை. இராமானுஜனுடைய் தொடர்பின்னவிடை அந்தத்தெருவில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் வீடுகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொண்டு, மஹலனொபிஸின் ஒரே விடைக்கு பதிலாக முடிவுறா எண்ணிக்கையில், தொடர்ந்து பல சரியான விடைகள் கொடுக்கின்றன. ஆக, மேற்படி தொடர்பின்னத்தின் 2வது ஒருங்கு
3 + 1/6 = 19/6.
x =19, y = 6 இரண்டாவது விடை.
19^2 - 10 * 6^2 = 361 - 360 = 1
மூன்றாவது ஒருங்கு:
3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6}}
இது கொடுக்கும் விடை: x = 117, y = 37
இதுவும் ஒரு சரியான விடைதான்.
நான்காவது ஒருங்கு 721/228. x = 721 y = 228.
இப்படியே போகிறது இராமானுஜனின் தொடர்பின்ன விடை. இராமானுஜனுடைய மேதைமை அவர் பிரச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே இதற்கு விடை முடிவுறா தொடர்பின்னம் தான் என்று கண்டு கொண்டு அத்தொடர் பின்னத்தையும் உடனே கொடுத்தது தான்.
இராமானுஜனின் தந்தையாரும் தந்தைவழிப் பாட்டனாரும் துணிக் கடைகளில் எழுத்தராகப் பணியாற்றி வந்தனர். தாய்வழிப் பாட்டனாரும் ஈரோட்டு முனிசீப்பு அறமன்றத்தில் அமீனாக வேலை பார்த்தவர். ஆகவே இவர் எளிய குடும்பத்தில், ஏழ்மையான நிலையில் இருந்தார். எனினும் இவர் சிறு வயதிலேயே யாருடைய உதவியும் இல்லாமல் மிக மிக வியப்பூட்டும் விதத்தில் கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான ஆழ் உண்மைகளைக் கண்டுணர்ந்தார். எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிய எண்கோட்பாடுகளிலும் (number theory), செறிவெண் (complex number) கோட்பாடுகளிலும் இவர் கண்டுபிடித்துக் கூறிய ஆழ் உண்மைகள் இன்று அடிப்படை இயற்பியற் துறை முதல் மின்தொடர்புப் பொறியியல் துறை வரை பல துறைகளில் உயர்மட்டங்களில் பயன்படுத்தபபட்டு வருகின்றன. இராமானுசன் அவர்கள் பெயரால் The Ramanujan Journal என்னும் கணித ஆய்விதழ் ஒன்று தொடங்கப்பட்டுள்ளது.
பள்ளிப் பருவத்திலேயே கணித ஆய்வு
பழமையில் ஊறியிருந்த தென்னிந்திய பிராம்மண குடும்பத்தில் அவர் பிறந்தார். பத்து வயதிற்குள்ளேயே இச்சிறுவனுடைய கணித வல்லமையும் நினைவாற்றலும் ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு புதிராக இருந்தது. ஆரம்பப் பள்ளியின் கடைசித் தேர்வில் மாவட்டத்திலேயே முதலாவதாகத் தேறியதால் அவனுக்கு கும்பகோணம் டவுன் மேல்நிலைப் பள்ளியில் அரைச்சம்பளக் கல்விச் சலுகை கிடைத்தது. 12வது வயதில் லோனி எழுதிய முக்கோணவியல் (Trigonometry) என்ற பாட புத்தகத்தை கல்லூரியில் இளங்கலை வகுப்பில் படித்துக் கொண்டிருந்த தன் அண்டை வீட்டு மாணவனிடமிருந்து கடன் வாங்கி படிக்கத் தொடங்கினான். தன்னைவிட 7, 8 வயது சிறியவனான இப்பள்ளி மாணவன் இக்கல்லூரிப் பாடபுத்தகத்தை ஒரே வாசிப்பில் முடித்ததோடு மட்டுமல்லாமல் அதிலிருந்த எல்லா கணக்குகளையும் தானே போட்டு முடித்து விட்டான் என்றதும் அந்தக் கல்லூரி மாணவனுக்கு ஒரே வியப்பு. முக்கோணவியல் என்ற பெயர் இருந்தாலும் அப்புத்தகத்தில் சில உயர் கணித விஷயங்கள், உதாரணமாக, பகுவியலில் (Analysis) கூறப்படும் தொடர் வினை (Continuous processes) களைப் பற்றிய விஷயங்கள், அடுக்குக்குறிச் சார்பு (exponential function), கலப்பு மாறியின் மடக்கை (logarithm of a complex variable), மிகைபரவளைவுச் சார்புகள் (hyperbolic functions) முடிவிலாத் தொடர்கள் மற்றும் பெருக்கீடுகள் (infinite series and products) இதைப்போன்ற கணிதத்தின் உயர்தரப் பொருள்களெல்லாம் பாடத்திற்கு எடுத்துக் கொள்ளப் பட்டிருந்தன. இவைகளைப் பற்றி அப்புத்தகத்தில் சொல்லப்பட்டிருந்தது துல்லியக் குறைவாகத்தான் இருந்ததென்றாலும் அப்புத்தகம் தான் சிறுவன் இராமானுஜனுக்கும் இவ்வுயர் கணிதப் பொருள்களுக்கும் ஏற்பட்ட முதல் நட்பு. இதைவிட ஒரு தரமான புத்தகம் அவன் கையில் கிடைக்காதது விதியின் விளையாட்டு போலும். விட்டேகருடைய ‘தற்காலப்பகுவியல்’ (Modern Analysis) உலகத்தில் அப்பொழுதுதான் வந்துவிட்டிருந்தது ஆனால் கும்பகோணம் வரையில் வரவில்லை. பிராம்விச்சுடைய முடிவிலாத்தொடர்கள் (Infinite Series), கார்ஸ்லா வுடைய ஃபோரியர் தொடரும் தொகையீடுகளும் (Fourier Series and Integrals), பியர்பாயிண்டுடைய மெய்மாறிச் சார்புகளின் கோட்பாடு (Theory of functions of a real variable), ஜிப்ஸனுடைய நுண்கணிதம் (Calculus) ஆகியவைகள் அப்பொழுதுதான் எழுதப்பட்டுக் கொண்டிருந்த காலம். இவையெல்லாம் இராமானுஜனுக்குக் கிடைத்திருந்தால் கணித உலகின் வரலாறே மாறியிருக்குமா இருக்காதா என்பதில் இன்றும் கணித இயலர்களுக் கிடையில் மாறுபட்ட கருத்துகள் நிலவி வருகின்றன.
1903 டிசம்பரில் சென்னைப் பல்கலையின் மெட்ரிகுலேஷன் தேர்வில் முதல் வகுப்பில் தேறினான். அதன் காரணமாக கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரியில் F.A. (இந்தக்காலத்து 11, 12 வது) வகுப்பிற்கு ‘சுப்பிரமணியம் உபகாரச்சம்பளம்’ பெற்றான். அவன் கற்க வேண்டியிருந்த பாடங்கள் ஆங்கிலம், கணிதம், உடற்செயலியல், ரோமானிய கிரேக்க வரலாறு, மற்றும் வடமொழி. ஆனால் கணிதம் தான் அவனுடைய காலத்தையும் சக்தியையும் விழுங்கிக்கொண்டது. கணிதம் தவிர மீத மெல்லாவற்றிலும் தேர்வில் தோல்வியே கண்டான். உபகாரச் சம்பளத்தை இழந்தான். கும்பகோணத்தை விட்டு எங்கோ ஆந்திர மண்ணில் தன்னை இழந்து சுற்றித் திரிந்தான். ஓராண்டு காலம் கழித்துத் திரும்பி கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரிக்கே வந்து சேர்ந்தான். ஆனால் 1905 டிசம்பர் தேர்வுக்கு வேண்டியிருந்த உள்ளமைச் சான்று (attendance certificate) கிடைக்காததால் தேர்வு எழுத முடியவில்லை. கும்பகோணம் கல்லூரியும் அத்துடன் அவனை இழந்தது.
1907-11 இல் படைப்பு வெள்ளம்
ஆனால் அவனுடைய ‘நோட்புக்குகள்’ அவனை இழக்கவில்லை. சென்னை பல்கலைக் கழகத்தின் முதல் நூலகத் தலைவராக இருந்த பேராசிரியர் எஸ். ஆர். ரங்கனாதன் எழுதுகிறார் (அவரே ஒரு கணித வல்லுனரும் கூட): “உள்ளிருந்து அவனை ஒரு ஜோதி ஊக்குவித்த வண்ணம் இருந்தது. கணித ஆய்வுகள் அவனுக்கு தெவிட்டாததாகவும் தவிர்க்க முடியாததாகவும் இருந்தது. F.A.தேர்வு கூட தேறமுடிய வில்லையே என்ற ஏக்கம் அவனுடைய கணித ஊக்கத்தை ஒன்றும் செய்ய முடியவில்லை. வேலையில்லாமல் வளய வருவதும் அவனுடைய ஆய்வுகளின் தரத்தையோ அளவுகளையோ குறைக்கவில்லை. சூழ்நிலை, பொருளாதாரம், சமூக கௌரவம் ஒன்றும் அவனுக்கு ஒரு பொருட்டாக இருக்கவில்லை. அவன் மனதிலும் கையிலும் இருந்ததெல்லாம் விந்தைச்சதுரங்கள் (Magic Squares) , தொடர் பின்னம் (Continued Fractions), பகா எண்களும் கலப்பு எண்களும் (Prime and Composite Numbers), எண் பிரிவினைகள் (Number Partitions), நீள்வட்டத் தொகையீடுகள் (Elliptic Integrals), மிகைப்பெருக்கத் தொடர் (hypergeometric series), இவையும், மற்றும் இவையொத்த மற்ற உயர்தர கணிதப்பொருள்கள் தாம். இவைகளைப் பற்றிய அவனுடைய கண்டுபிடிப்புகளை யெல்லாம் தன்னுடைய மூன்று நோட்புக்குகளில் எழுதினான். நிறுவல்கள் அநேகமாக எழுதப்படவில்லை. தற்காலத்தில் இந்த நோட்புக்குகளின் நகல்கள் (212, 352, 33 பக்கங்கள் கொண்டவை) டாடா அடிப்படை ஆய்வுக் கழகம், சென்னைப்பல்கலைக் கழகம், ஸர் தோரப்ஜி டாடா அறக்கட்டளை ஆகிய மூன்று அமைப்புகளின் ஒத்துழைப்பினால் பிரசுரிக்கப் பட்டிருக்கின்றன. 1985இலிருந்து 2005 வரையில், ப்ரூஸ் பர்ண்ட் என்பவருடைய விரிவான குறிப்புகளுடன் ஐந்து புத்தகங்களாக வெளிவந்திருக்கின்றன. அவைகளில் 3542 தேற்றங்கள் இருக்கின்றனவென்றும், ஏறக்குறைய 2000க்கும் மேற்பட்ட தேற்றங்கள் அவர் வாழ்ந்த காலத்திற்கு முன்னால் கணித உலகிற்குத் தெரியாத தேற்றங்கள் தான் என்றும் சொல்கிறார் ப்ரூஸ் பர்ண்ட்
நான்கு பொன்னான ஆண்டுகள்
கேம்பிரிட்ஜில் ஹார்டியுடன் கூட இருந்த நான்கு ஆண்டுகளும் (1914-1918) இராமானுஜனுக்கு மட்டுமல்ல பேராசிரியர் ஹார்டிக்குமே பொன்னான ஆண்டுகள் தாம். இதை ஹார்டியே சொல்கிறார். பிற்காலத்தில், இராமானுஜன் யாருமே எதிர்பார்க்காத 32 வயதிலேயே மரணமடைந்த பிறகு ஹார்டி அவரைப் பற்றி சொல்லும்போது ‘இங்கு வருவதற்கு முன்னால் அவர் என்ன புத்தகம் படித்திருந்தார், இன்னின்ன புத்தகங்களைப் பார்த்திருந்தாரா இல்லையா என்பதை என்னால் சொல்ல முடியவில்லை. நான் கேட்டிருந்தால் ஒருவேளை சொல்லி யிருப்பாரோ என்னமோ. ஆனால் ஒவ்வொருநாள் நான் அவருக்கு காலை வணக்கம் சொல்லும்போதும் அவர் எனக்கு ஐந்தாறு புதுத் தேற்றங்களை காட்ட ஆயத்தமாயிருந்ததால் எனக்கு வேறு எதையுமே பேச வாய்ப்புமில்லை. அதைப் படித்திருக்கிறாயா, இதைப் படித்திருக்கிறாயா என்று கேட்பதும் பொருத்த மில்லாமலிருந்தது’. இராமானுஜனுடைய படைப்பாற்றல் அவ்வளவு வேகமாக இருந்தது. இருந்தாலும் பேரா. ஹார்டி இராமானுஜனுக்கு சில தேவையான் விஷயங்களை சொல்லிக் கொடுக்கத்தான் செய்தார். காரணம், இராமானுஜன் அவையில்லாமல் மாற்று வழிகளுக்காக நேரத்தை செலவழித்து விடுவாரோ என்ற பயம்தான். ஆனால் ஹார்டியே பின்னால் சொல்கிறார் ‘நான் அவருக்குத் தெரியவேண்டியவை என்று சொல்லிக் கொடுத்தது சரிதானா என்று தெரியவில்லை. ஏனென்றால் நான் சொல்லிக்கொடுத்ததால் அவருடைய மேதை பரிமளிப்பதை தடை செய்திருக்கவும் கூடுமல்லவா?’. இன்னமும் சொல்கிறார்: ‘நான் அவருக்கு சொல்லிக்கொடுத்ததுதான் சரி என்று வைத்துக்கொண்டாலும், ஒன்று மாத்திரம் உண்மை. அவர் என்னிடமிருந்து கற்றதை விட நான் அவரிடமிருந்து கற்றது தான் அதிகம்’.
இந்நான்கு ஆண்டுகளில் இராமானுஜன் 27 ஆய்வுக்கட்டுரைகள் பிரசுரித்தார். அவைகளில் 7 கட்டுரைகள் ஹார்டியுடன் கூட்டாக எழுதியவை. 1918 இல் F.R.S. (Fellow of the royal Society) என்ற கௌரவம் அவருக்குக்கொடுக்கப்பட்டது. அதே ஆண்டு ட்ரினிடி கல்லூரியின் ஃபெல்லோவாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். இந்த இரண்டு கௌரவங்களையுமே பெற்ற முதல் இந்தியர் அவர்தான்.
சென்னைப் பல்கலைக்கழகமும் அதன் சார்பில் ராமானுஜனுக்காக ஒரு நிலையான ஏற்பாட்டைச்செய்தது. அவர் அதுவரை பெற்றுக்கொண்டிருந்த வெளிநாட்டு உபகாரச்சம்பளம் முடியும் நாளான ஏப்ரல் 1, 1919 இலிருந்து ஐந்து ஆண்டுகளுக்கு அவருக்கு ஆண்டுக்கு £250 நிபந்தனையற்ற சலுகை தருவதாக ஏற்பாடு செய்தது. புதிதாக கல்வி இயக்குனராகப் பதவியேற்றிருந்த பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸ் அப்பொழுதுதான் மும்பையில் நடந்திருந்த இந்திய கணிதக்கழகத்தின் ஆண்டு மகாநாட்டிலிருந்து திரும்பி வந்திருந்தார். அம்மகாநாட்டில் இராமானுஜனுடைய சாதனைகளைப் போற்றித் தீர்மானங்கள் நிறைவேறியிருந்தன. பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸும் சென்னைப் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதப் பேராசிரியர் பதவி ஒன்று உண்டாக்குவதற்காகவும் அந்தப் பதவிக்கு இராமானுஜனுக்கு அழைப்பு விடுப்பதற்கும் பல்கலைக் கழகத்தை கேட்டுக்கொள்ளப் போவதாகவும் அறிவித்தார். ஆனால் காலச்சக்கரம் வேறு விதமாகச் சுழன்றது.
ஒரே ஒரு இராமானுஜன் கணிதத்துளி
இராமானுஜனுடைய கணிதமேதையை எடுத்துக்காட்டுவதற்காக ஒரு சின்னஞ்சிறு துளியை கீழே காண்போம்.
முனைவர் பி.சி. மஹலனொபிஸ் என்பவர் நேரு காலத்தில் இந்தியாவின் ஐந்தாண்டுத் திட்டங்களைத் தீட்டியவர். அவர் இராமானுஜன் கேம்பிரிட்ஜில் வசித்த காலத்தில் அவரும் அங்கு படித்துக் கொண்டிருந்தார். இராமானுஜனுடைய நண்பர். இருவரும் அடிக்கடி சந்திப்பதுண்டு. ஒருநாள் இராமானுஜன் அவரை தன் விடுதிக்கு மதிய உணவருந்த கூப்பிட்டிருந்தார். இராமானுஜன் சமையல் அடுப்பருகில் வேலையில் ஈடுபட்டிருந்ததால், வந்தவர் இருக்கையில் அமர்ந்து ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையைப் புரட்டிக் கொண்டிருந்தார். அதனில் ஒரு கணிதப் புதிர் இருந்தது. அப்பொழுது முதலாவது உலகப்போர் நடந்துகொண்டிருந்த சமயம். “பாரிஸ் நகரில் ஒரே தெருவில் இரண்டு வீடுகளில் இரண்டு அதிகாரிகள் கைதுசெய்யப்பட்டனர்; வீட்டு கதவிலக்கங்கள் தெரியவில்லை, ஆனால் இரண்டு இலக்கங்களினூடே ஒரு கணிதத் தொடர்பு இருக்கிறது, கதவிலக்கங்கள் என்னவாக இருக்கும்?” இதுதான் புதிர். சிறிது நேரம் யோசித்ததில் மஹலனோபிஸ்சுக்கு விடை புரிந்துவிட்டது. அவர் பரபரப்புடன் அதை இராமானுஜனுடன் பகிர்ந்துகொள்ள விருப்பப் பட்டார். இராமானுஜன் சாம்பாரை கலக்கிவிட்டுக் கொண்டே, ‘சொல்லுங்கள் கேட்போம்’ என்றார். மஹலனோபிஸ் பிர்ச்சினையை எடுத்துரைத்தார். அவர் தன் விடையைச் சொல்லுமுன்பே இராமானுஜன், ‘சரி, இந்த தொடர் பின்னத்தைக் குறித்துக் கொள்ளுங்கள்’ என்று ஒரு தொடர் பின்னத்தைக் கூறி அதுதான் விடை என்றார்.
இது நமக்குப் புரிவதற்கு ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையில் இருந்த புதிரின் விபரம் தான் என்ன என்று தெரியவேண்டும். ஆனால் அவ்விபரம் கிடைக்கவில்லை. இருந்தாலும் இராமானுஜனின் மின்னல்வேக விடையைப் புரிந்து கொள்வதற்கு நாமாகவே அப்பத்திரிகைப் புதிர் என்ன மாதிரியில் இருந்திருக்கும் என்று ஊகிக்கலாம். இரண்டு கதவிலக்கங்களைக் கண்டுபிடிப்பது தான் பிரச்சினை. கதவிலக்கங்களை x, y என்று அழைப்போம். அவைகளுக்குள் இருந்த தொடர்பையும் நாம் இப்படி வைத்துக் கொள்ளலாம்:
x^2 - 10 y^2 = +1 or -1
மஹலனோபிஸ் இதைப் பார்த்ததும் ஓரிரண்டு எண்களைப் பொருத்திப் பார்த்தார். x = 3, y = 1 என்ற விடை கிடைத்தது, கிடைத்தவுடன் இராமானுஜனுக்கு சொல்லத் தொடங்கிவிட்டார். ஆனால் இராமானுஜன் பிர்ச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே, சாம்பாரைக் கலக்கிக்கொண்டே, இதன் விடை ஒரு தொடர் பின்னத்தில் இருக்கிறது என்று கீழ்வரும் தொடர் பின்னத்தை சொன்னார்:
3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}
இதன் பொருளை இராமானுஜனே விளக்கினார்.
இத்தொடர்பின்னத்தின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும் ஒவ்வொருவிடையாகும். முதலாவது ஒருங்கு 3/1. x = 3, y = 1 என்பது முதல் விடை. இராமானுஜனுடைய் தொடர்பின்னவிடை அந்தத்தெருவில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் வீடுகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொண்டு, மஹலனொபிஸின் ஒரே விடைக்கு பதிலாக முடிவுறா எண்ணிக்கையில், தொடர்ந்து பல சரியான விடைகள் கொடுக்கின்றன. ஆக, மேற்படி தொடர்பின்னத்தின் 2வது ஒருங்கு
3 + 1/6 = 19/6.
x =19, y = 6 இரண்டாவது விடை.
19^2 - 10 * 6^2 = 361 - 360 = 1
மூன்றாவது ஒருங்கு:
3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6}}
இது கொடுக்கும் விடை: x = 117, y = 37
இதுவும் ஒரு சரியான விடைதான்.
நான்காவது ஒருங்கு 721/228. x = 721 y = 228.
இப்படியே போகிறது இராமானுஜனின் தொடர்பின்ன விடை. இராமானுஜனுடைய மேதைமை அவர் பிரச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே இதற்கு விடை முடிவுறா தொடர்பின்னம் தான் என்று கண்டு கொண்டு அத்தொடர் பின்னத்தையும் உடனே கொடுத்தது தான்.
20:19
Tags :
Ramanujaan
,
கணித மேதை
,
ஸ்ரீநிவாச ராமானுஜம்
Subscribe by Email
Follow Updates Articles from This Blog via Email
No Comments